五子棋先下一定赢?

原文地址:https://www.zhihu.com/question/24053236/answer/32848231
引用自:知乎 - 五子棋先下的一定赢吗?如何证明? - @胡天硕

通常大家玩的五子棋分为带禁手和不带禁手两个版本(前者一般称之为五子棋Gomoku,后者称之为连珠Renju),无论哪一个版本,先手黑棋均必胜。

所谓黑必胜的意思是,只要黑棋按照一定的方式下,白棋选择棋盘上的任何一个点都不可能赢棋。

其实在电脑出现之前,五子棋的玩家就发现黑棋采取某些开局赢面的极大,也怀疑有先手必胜的方法。但没有人能够真正“证明”出来白棋无论怎么下都是必败的——这个结论最终还是通关电脑来证明的。

其中不带禁手是 1992 年 Victor Allis 通过编程证明黑必胜的,文章地址在这里: https://project.dke.maastrichtuniversity.nl/games/files/phd/SearchingForSolutions.pdf

禁手规则是只针对黑棋的,简而言之是黑棋只允许使用冲四活三这一种赢法(当然不排除白棋故意冲四不挡这种方法)。设计的目的也是为了限制黑棋的巨大优势,白棋也多了逼禁手这儿一种赢法。但后来人们也逐步发现带禁手后,黑棋依然似乎能不败。直到后来,也有人证明,带禁手执黑也可以必胜。

带禁手的是 2001 是 Janos Wagner 第一次证明黑必胜的,文章地址在这里: http://www.sze.hu/~gtakacs/download/wagnervirag_2001.pdf

这个后面的证明比前面的证明要强很多,因为按照带禁手的走法,不带禁手也一定必胜,但倒过来未必。

这还不说,为了进一步削弱黑棋的优势,国际上推出五手两打(就是黑棋的第三步需要下两个点,但由白棋挑选让其下较弱的哪一个)的规则。可是人们发现黑棋带禁手依然是必胜。也就是说,黑棋必胜不仅仅有一种方法,而是至少有两种以上(来回应各种变种的第四步)。

从实践的角度来讲,网上是可以搜索“地毯谱”(尤其是花月和蒲月都是五手两打必胜),一般在几百兆左右,可以用 renlib 软件打开,所谓地毯谱的意思就是黑棋会指定下法,但白棋每一步都可以选择棋盘任意位置,最后黑棋必胜。也就是说,只要按照此棋谱下棋,五子棋世界冠军都一定会输给你。

所以正式的比赛才会有三手交换五手两打,山口规则(五手 n 打)这些复杂的规则来平衡比赛。但这些规则也是逐渐被人破解,五子棋的比赛已经很大程度不是在考验自己的临场发挥,而是考验选手对于各种开局的记忆情况。

另外针对有人质疑既然五子棋必胜,为什么还要玩:

必胜并不代表去网上黑先开浦月、花月就一定人挡杀人,佛挡杀佛。 必胜的各种分支套路也不是那么容易记住的,诸位可以和 tito2014 或者弈心执黑体验一下(高手绕道)。所以各种对战平台上,就算是在非禁手区拿到胜率远超 50%也不是不可能的。

另外不带禁手的五子棋是属于一类更为普遍的 m,n,k 游戏(m,n,k-game)的一种特例,即 15,15,5。m,n,k 游戏是指 m 行 n 列,轮流下子,连成 k 个算赢。这个在数学中专门有研究如果在最理想下法(Perfect Play)的情况下有什么样不同的结果,比如标准的三连棋(Tic-tac-toe)是 3,3,3 是一个平局,同样只有六路棋盘的五子棋也是平局,当然上面我们已经说明了 15,15,5 是先手必胜。m,n,k 游戏只有先手必胜和平局两种结果。由于每下一个子都一定会对下子一方那一方有优势,所以可以通过反证法证明 m,n,k 游戏里不可能有后手胜利的情况。如果后手有胜利的方法,那么先手可以提前“借鉴”过来实现必胜(Strategy stealing)。

另外除了规定复杂的开局和禁手规则,其实还有一个出路:

除了采取对先手采取各种限制的方法,2003 年被吴毅成教授发明的連六棋(Connect6)也非常类似五子棋,难度很高,但六子棋没有先手优势——因为每一步都下两个子,除了第一步下一个子,这样保证双方每次下棋时,都可以比对方多一个子。AI 目前计算的结果也是,没有发现先手比后手有更大的优势。

既然双方都没有优势,六子棋下满整个(围棋 19x19 棋盘)都没有分出高低都是有可能的。(这个游戏已经不再是 m,n,k 游戏了)

不得不说的是,虽然有个别比赛(gomocup 说你呢)还是在用限定规则的五子棋做 ai 比赛,但是正经的编程奥赛是没有五子棋的比赛(93 年就没了好不好),而被 connect6 这种简约的规则所取代。Connect6 的解决难度几乎与围棋相当。

感兴趣传统五子棋和连珠的 AI 算法的可以参考这个问题:
现在的五子棋 AI 在职业比赛规则下与人对决是什么水平? - 人工智能:https://www.zhihu.com/question/27077916
和这个页面(英文):AI EXP - https://www.aiexp.info/pages/yixin-cn.html


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